Analysis of the flexural wave band gap in locally multi resonant metamaterial

Abstract

Most engineering industrial structures are made of thin and light plates, and these structures cause discomfort in everyday life because they are sensitive to vibration. Therefore, it is necessary to solve the problem by isolating the vibration transmitted to the thin plate. Generally, the method of isolating the vibration is to increase the thickness of the structure and to use the damping material. However, there is a limit to how to isolate vibrations using this classical method. In recent years, studies on locally resonant metamaterials that can replace the classical methods have been actively conducted. This works as a principle of dissipating the vibration energy of the bending wave propagating to the structure by the local resonance of the resonator in the unit cell arranged periodically. The frequency at which vibration is isolated can be analyzed through the band gap of the dispersion curve, and the center frequency and bandwidth of the band gap are greatly influenced by the dynamic characteristics of the resonator. In general, a locally resonant metamaterial consists of a single resonator and thus a single band gap exists. In this study, we tried to obtain multiple band gaps by applying multiple resonators, and we defined this structure as locally multi resonant metamaterial. In KU Leuven, a study was conducted to demonstrate that multiple band gaps can be obtained by applying two resonators simultaneously. In previous research, however, the resonator's periodicity is deteriorated because the two resonators in the unit cell are located separately from each other and the unit cell size (i.e. the lattice constant) increases. Therefore, we have devised a new unit cell that can secure the periodicity of the resonator more than previous studies. Theoretically, an infinitely arranged locally multi resonant metamaterial can analyze the band gap characteristics using a unit cell model using the Bloch theorem, which can express periodic structures. The unit cell modeling was implemented with MATLAB in-house code as a two-dimensional finite element model considering the efficiency of computation. In other words, after composing resonant structure and host structure in unit cell with two finite element model, coupling condition was simulated by applying penalty method. MATLAB in-house code was also verified through analytic dispersion equation and commercial software COMSOL Multiphysics. First, based on the verified model, we analyze the dynamic characteristics of the proposed unit cell and define the specific configuration and dimensions of the unit cell. In addition, we analyzed the influences on band gap by changing the length of plate spring and the thickness of concentrated mass, which are the key parameters for determining multiple band gaps. Parametric studies have shown that the center frequency of the band gap is affected by both the length of the plate spring and the thickness of the concentrated mass, and that the relative bandwidth (RBW) is heavily influenced by the relatively concentrated mass. In addition, we analyzed the band gap characteristics that depend on whether multiple resonators are configured with same parameters or different parameters. As a result, it was effective to construct the multiple resonators of the proposed unit cell with different parameters. The periodicity of the resonator becomes more important in real finite space. If the periodicity of the resonator is not sufficiently secured in a limited space, its performance can’t be guaranteed. Therefore, it is necessary to compare each array type by experimenting on a finite plate. The laser cutting process was carried out based on the numerical model dimensions to produce the samples required for the experiment. Therefore, an attachable local resonator was fabricated by using permanent magnet and instant adhesive, and applied to each array type. In the sensitivity study of various parameters affecting the band gap, it was confirmed that the Young's modulus of the plate spring and the penalty weight greatly affect the band gap. Based on this, the cause of modeling error between numerical and experimental results is clarified. Also, the frequency response function was measured using the impact testing module of LMS Test. Lab. Based on numerical and experimental results of each array type, we found that the proposed Combined A,B array has the best band gap characteristics and vibration reduction effect. Therefore, it is demonstrated numerically and experimentally that the unit cell corresponding to the Combined A,B array is the structure having the best periodicity of the resonator compared to other array types.|대부분의 공학적인 산업 구조물은 얇고 가벼운 판으로 이루어져 있고, 이러한 구조물은 진동에 민감하게 반응하기 때문에 일상 생활 속에서 불편함을 야기한다. 따라서 얇은 판으로 전달되는 진동을 차단함으로써 문제를 해결하는 것이 필요하다. 일반적으로 진동을 차단하는 방법은 구조물의 두께를 증가시키는 것과 damping material을 사용하는 것이 대표적이다. 하지만, 이러한 고전적인 방법으로 진동 차단을 하는 것은 한계가 있다. 최근에는 고전적인 방법을 대체할 수 있는 국부 공진 메타 물질에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 이는 주기적으로 배열되어 있는 단위 구조 내 resonator의 국부 공진에 의해 구조물에 전파하는 굽힘 파의 진동 에너지를 소산 시키는 원리로 작동한다. 진동이 차단되는 주파수는 분산 곡선의 밴드 갭을 통해 분석할 수 있으며, 밴드 갭의 중심 주파수와 bandwidth는 resonator의 동적 특성에 큰 영향을 받는다. 또한, 일반적인 국부 공진 메타 물질은 single resonator로 단위 구조를 구성하므로 하나의 밴드 갭이 존재하게 된다. 본 연구에서는 multiple resonators를 적용하여 multiple band gaps을 얻고자 하였고, 이를 국부 다중 공진 메타 물질이라고 정의하였다. KU Leuven의 이미 수행된 연구에서는 두가지 resonator를 동시에 적용하여 multiple band gaps을 얻을 수 있다는 것을 증명하였다. 하지만, 이전 연구에서는 두가지 resonator가 단위 구조 내에서 서로 떨어져 있을 뿐만 아니라, 단위 구조의 크기 즉, lattice constant가 커지기 때문에 resonator의 주기성이 악화되는 한계점을 가지고 있다. 따라서, 이전 연구보다 resonator의 주기성을 더 많이 확보할 수 있는 새로운 단위 구조를 고안하였다. 이론적으로 무한히 배열 되어 있는 국부 다중 공진 메타 물질은 주기적인 구조의 표현이 가능한 Bloch theorem을 이용하여 unit cell model로 밴드 갭 특성 분석이 가능하다. Unit cell modeling은 계산의 효율성을 고려하여 2차원의 유한 요소 평판 모델로 MATLAB in-house code를 구현하였다. 즉, 단위 구조를 구성하는 resonant structure와 host structure를 2개의 유한 요소 평판 모델로 구성한 후, penalty method를 적용하여 coupling condition을 구현하였다. 또한, MATLAB in-house code는 analytic dispersion equation과 상용소프트웨어인 COMSOL Multiphysics를 통해 검증하였다. 우선, 구현된 모델을 바탕으로 제안하는 단위 구조의 동적 특성을 분석하였으며, 이를 위해 단위 구조의 구체적인 구성과 치수를 정의하였다. 게다가, multiple band gaps을 결정하는 주요한 parameters인 판 스프링의 길이와 집중 질량의 두께를 변화시키면서 밴드 갭에 대한 영향을 분석하였다. 이러한 parametric study를 통해, 밴드 갭의 center frequency는 판 스프링의 길이와 집중 질량의 두께에 모두 영향을 크게 받고, 밴드 폭을 비교하는 상대적인 기준인 RBW는 비교적 집중 질량에 크게 영향을 받는다는 2가지 현상을 확인하였다. 또한, multiple resonators의 구성을 각각 같은 parameter로 구성하는지, 다른 parameter로 구성하는지에 따라 달라지는 밴드 갭 특성을 분석하였다. 이를 통해, 본 연구에서 제안하는 단위 구조의 multiple resonators는 서로 다른 parameter로 구성하는 것이 밴드 갭 형성 측면에서 효율적이란 것을 확인하였다. 한편, Resonator의 주기성은 실제의 유한한 공간상에서 그 중요성이 더욱 대두된다. 제한된 공간에서 resonator의 주기성을 충분히 확보하지 못한다면, 그 성능을 보장할 수 없기 때문이다. 따라서, 유한한 평판에 배열하는 실험을 통해 각 배열 타입을 비교하는 것이 필요하다. 수치 모델의 치수를 바탕으로 laser cutting process를 수행하였고, 영구 자석과 순간 접착제를 이용하여 attachable local resonators를 제작하여 각 배열 타입에 적용하였다. 또한, 밴드 갭에 영향을 미치는 다양한 parameter의 sensitivity study를 통해, 판 스프링의 Young’s modulus와 penalty weight가 밴드 갭에 크게 영향을 미친다는 것을 확인 하였다. 이를 바탕으로, 수치 결과와 실험 결과 사이의 modeling error를 규명 하였다. 실험은 LMS Test. Lab을 이용하여 frequency response function을 측정 하였다. 각 배열 타입의 수치적인 비교 결과와 실험적인 비교 결과를 바탕으로, 본 연구에서 제안하는 Combined A,B 배열의 밴드 갭 특성과 진동 저감 성능이 가장 좋다는 결과를 도출하였다. 따라서, Combined A,B 배열에 해당하는 단위 구조가 다른 배열 타입에 비해 가장 좋은 resonator의 주기성을 갖는 구조라는 것을 수치적, 실험적으로 증명하였다.