Quantum and Holographic Complexity, and Quantum Chaos from Free Probability

Abstract

This thesis provides detailed and contemporary explorations of complexities in quantum systems and gravity through holographic approaches, as well as proposes a rigorous definition of quantum chaos from free probability theory. We consider the statistics of the results of a measurement of the spreading operator in the Krylov basis generated by the Hamiltonian of a quantum system starting from a specified initial pure state. We show that the moments of this characteristic function are related to the so-called generalised spread complexities, which possess a peak in the time evolution for a random matrix Hamiltonian belonging to the Gaussian unitary ensem- ble in the continuum limit. We investigate the time evolution of generalized spread complexities following a quantum quench in random matrix theory. This setup captures universal features of chaotic quantum quenches. From the holographic perspective, we investigate holographic complexities in the context of wedge holog- raphy, focusing specifically on black string geometry in AdS3, using both the “Complexity=Volume” (CV) and “Complexity=Action” (CA) proposals. Building on the duality between Krylov complexity and geodesic length in Jackiw-Teitelboim and sine-dilaton gravity, we also develop a precise holographic dictionary for quantities in the Krylov subspace of the double-scaled Sachdev-Ye-Kitaev model (DSSYK). For more rigorous understanding of quantum chaos, we propose a definition of quantum chaos based on asymptotic freeness and investigate its emergence in quantum many-body systems including the mixed-field Ising model with a random magnetic field, a higher spin version of the same model, and the SYK model. Keywords: holography, complexity, quantum chaos, random matrix, free probability. ©2026 Yichao Fu ALL RIGHTS RESERVED|본학위논문은홀로그래피적접근을통해양자계와중력의복잡성에대한현대적이고상세한탐구를 제공하며,자유확률이론을바탕으로양자카오스의엄밀한정의를제안한다. 우리는 주어진 초기 순수 상태로부터 출발하여 양자계의 해밀토니안이 생성하는 크릴로프 기저에서 퍼짐 연산자(spreading operator)의 측정 결과 통계를 고려한다. 이때 해당 특성함수의 모멘트들이 이른바 일반화된 퍼짐 복잡도(generalised spread complexities)와 관련됨을 보이며, 이 복잡도는 연속체 극한에서 가우시안 유니터리 앙상블에 속하는 랜덤 행렬 해밀토니안의 시간 진화 과정 중 피크를 나타냄을 보인다. 또한 우리는 랜덤 행렬 이론에서 양자 퀀치(quantum quench) 이후 일반화된 퍼짐 복잡도의 시간 진화를 분석하며,이설정이혼돈적인양자퀀치의보편적특징을포착함을확인한다. 홀로그래피적 관점에서는 웨지 홀로그래피(wedge holography) 맥락에서 홀로그래픽 복잡도를 연구하 며, 특히 AdS₃에서의 블랙 스트링 기하를 대상으로 “복잡도=부피”(Complexity=Volume, CV)와 “복잡도= 작용”(Complexity=Action, CA) 제안을 모두 활용한다. 또한 Jackiw–Teitelboim 중력과 사인-딜라톤 중력 에서 크릴로프 복잡도와 측지선 길이 사이의 쌍대성을 바탕으로, 이중 스케일드 Sachdev–Ye–Kitaev 모델 (DSSYK)의크릴로프부분공간에대한정밀한홀로그래픽사전을구축한다. 양자 카오스에 대한 보다 엄밀한 이해를 위해, 우리는 점근적 자유성(asymptotic freeness)에 기반한 양 자 카오스의 정의를 제안하고, 랜덤 자기장을 갖는 혼합장 이징 모형, 그 고스핀 확장, 그리고 SYK 모형을 포함한양자다체계에서이러한성질이어떻게나타나는지를탐구한다. ©2026 푸이차오 (傅奕超) ALL RIGHTS RESERVED